\chapter{Vari\'{a}veis Aleat\'{o}rias}
\label{varalea}

O nome 'vari\'{a}vel' aleat\'{o}ria se refere a experimentos probabil\'{i}sticos que tem resultados
associados a n\'{u}meros, ou seja, seu resultado pode ser objeto
das opera\c{c}\~{o}es matem\'{a}ticas usuais para os n\'{u}meros em quest\~{a}o.

Assim sendo, $\Omega$ \'{e} sempre um subconjunto de um conjunto num\'{e}rico que pode
ser o dos n\'{u}meros naturais $\mathbf{N}$, inteiros $\mathbf{Z}$, racionais
$\mathbf{Q}$, reais $\mathbf{R}$ ou mesmo complexos $\mathbf{C}$.

Costuma-se denotar vari\'{a}veis aleat\'{o}rias (os experimentos propriamente
ditos) por letras mai\'{u}sculas como, p.ex. $X$, um resultado correspondente
de tal experimento por uma letra min\'{u}scula $x$.

De acordo o tipo de subconjunto num\'{e}rico representado, costuma-se
classificar uma vari\'{a}vel aleat\'{o}ria conforme a natureza do subconjunto.
A rigor h\'{a} dois casos a considerar: (a) o de conjuntos ditos enumer\'{a}veis,
e os de (b) conjuntos n\~{a}o enumer\'{a}veis. 

Na primeira categoria est\~{a}o subconjuntos de $\mathbf{N}$, $\mathbf{Z}$, e
$\mathbf{Q}$ e no segundo intervalos de $\mathbf{R}$ e regi\~{o}es de
$\mathbf{C}$. Vari\'{a}veis aleat\'{o}rias (v.a.s) envolvendo o primeiro
tipo s\~{a}o ditas discretas em contraste ao segundo caso que s\~{a}o
referidas como v.a.s cont\'{i}nuas.

Esta distin\c{c}\~{a}o entre tipos de v.a.s \'{e} necess\'{a}ria, pois
a maneira pela qual\'{e} poss\'{i}vel atribuir probabilidades
aos n\'{u}meros obten\'{i}veis como resultado difere.
Vamos examinar cada caso separamente.

\'{E} costume indicar o espa\c{c}o amostral associado \`{a} v.a $X$ por $\Omega_X$.

\section{Vari\'{a}veis Aleat\'{o}rias Discretas}
\label{varalea_dicreta}

Obviamente neste caso de a cardinalidade de $\Omega_X$ for finita, como
os diversos resultados de sorteio representam eventos disjuntos
a soma de suas probabilidades de ocorr\^{e}ncia deve somar um total de 1.
Para incluir espa\c{c}os amostrais enumer\'{a}vel com infinitos elementos, as atribui\c{c}\~{o}es
de probabilidades precisam ser feitas de modo a soma das inst\^{a}ncias de probabilidades
tamb\'{e}m somem 1.

Nestes casos, portanto a forma de descrever o espa\c{c}o proabil\'{i}stico 
$(\Omega_X,\mathcal{A}_X,p_X)$ se d\'{a} pela explicita\c{c}\~{a}o da fun\c{c}\~{a}o
$p_X(x)$ que precisa atender aos seguintes requisitos para $\forall x \in \Omega_X$:

\begin{enumerate}
 \item $0\leq p_X(x)\leq 1$ \label{prop:maior_q_zero} e
 \item $\sum\limits_{\forall x} p_X(x)=1$ \label{prop:soma_um}
\end{enumerate}

Fun\c{c}\~{o}es que atendem \`{a}s propriedades \ref{prop:maior_q_zero} e \ref{prop:soma_um}
s\~{a}o ditas \textit{densidades de probabilidade discretas} e representam como
a probabilidade se reparte entre os resultados.

\begin{exemp}
No caso do lan\c{c}amento de uma moeda, anota-se o valor 0 sempre que a face obtida seja
cara e 1 no caso contr\'{a}rio, definindo a v.a. discreta $M$, com

$$\Omega_M=\{0,1\}$$ 
e
$p_M(0)=1/2=p_M(1)$
se a moeda for honesta.
\end{exemp}

\begin{exemp}
 Considere uma l\^{a}mpada saida de f\'{a}brica. Seja $X$ a v.a associada ao n\'{u}mero de
vezes que ela acende antes de queimar. Suponha que a probabilidade da l\^{a}mpada queimar
seja $\alpha$ independentemente de quantas vezes tenha sido acesa antes. Neste caso, a probabilidade
de queimar no $x$-\'{e}simo acendimento \'{e} dada por:
\begin{equation}
 \label{eq:dens_geom}
  p_X(x)=(1-\alpha)^{x-1}\alpha
\end{equation}
que evidentemente satisfaz \`{a}s propriedades \ref{prop:maior_q_zero} e \ref{prop:soma_um}
pois
\begin{equation}
 \sum\limits_{x=1}^\infty(1-\alpha)^{x-1}\alpha=\frac{\alpha}{1-(1-\alpha)}=1
\end{equation}

Obviamente neste caso $\Omega_X=\mathbf{N}$. 
\end{exemp}

\begin{obs}
 Pelo fato de (\ref{eq:dens_geom}) ser uma progress\~{a}o geom\'{e}trica, v.a.s com este tipo
de densidade s\~{a}o conhecidas como v.a.s \textit{geom\'{e}tricas}.
\end{obs}

\begin{exemp}
 V.a. Indicador
\end{exemp}

\begin{exemp}
 V.a Binomial
\end{exemp}

\begin{exemp}
 V.A. Poisson
\end{exemp}











